Um teaser de minha apresentação para o V-EI, em abril.
Todos sabem que o infinito matemático é enlouquecedor. A simples ideia de uma quantidade “sem fim” parece incompreensível, senão mesmo um disparate. E, no entanto, nossas intuições sobre o infinito são pesadas como âncoras, dificílimas de remover; o que é especialmente problemático (e empolgante), já que várias destas intuições são contraditórias entre si!
Todos os infinitos são iguais?
A maioria das pessoas tem certeza absoluta de que a resposta é “sim”… e, também, de que a resposta é “não”!
Vejamos [pra facilitar me limitarei aos números positivos]:
SIM – É claro que a resposta é sim, pensam elas, porque infinito “mais um” continua sendo infinito. E, aliás, o mesmo vale para infinito menos um; ou vezes quatro; ou dividido por 500; ou raiz quadrada de infinito. Dá sempre infinito, nada se altera.
NÃO – Mas é claro que a resposta é não, pensam elas, porque embora a quantidade de números naturais (1, 2, 3, 4, 5,…) seja infinita, podemos pegar só a metade deles – por exemplo, os números pares (2, 4, 6, 8, 10,…) – e teremos ainda outra quantidade infinita. Como esta segunda quantidade, embora infinita, é apenas metade da primeira, vemos imediatamente que certos infinitos são maiores que outros.
Desnecessário dizer que as duas argumentações, SIM e NÃO, são difíceis de engolir.
CONTRA SIM – Na ilha caribenha ‘El Infinito’ a população atual é de infinitas pessoas. E você está de mudança para lá. Desta perspectiva parece evidente que a quantidade de pessoas da ilha será alterada com sua presença. Ao que parece, qualquer quantidade infinita + 1 dará outra quantidade infinita, diferente da primeira – e a diferença, claro, será justamente de 1. Veja: se você retirar de ‘El Infinito’ todas as pessoas que estavam lá antes da sua chegada, sobrará exatamente você na ilha, sozinho. Neste caso, infinito (população original + você) menos infinito (população original) dá 1 (você). Claro: se você tivesse ido com a namorada, então infinito (população original + casal) menos infinito (população original) daria 2 (você e sua namorada). Se é assim, todos os infinitos são iguais coisa nenhuma. Cada infinito é de um tamanho específico diferente!
CONTRA NÃO – Basta pensar melhor pra ver que a quantidade de números naturais é, afinal de contas, idêntica à quantidade de números pares, em vez de ser “o dobro” dela. Afinal, para cada número natural existe exatamente um número par – nem mais, nem menos! Basta listar os números naturais (1, 2, 3, 4,…) ao lado dos números pares (2, 4, 6, 8,…) pra ver isto:
1 <—> 2
2 <—> 4
3 <—> 6
4 <—> 8
5 <—> 10
6 <—> 12
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317 <—> 634
318 <—> 636
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…e assim por diante, “ao infinito e além”, rs: os números naturais (esquerda) nunca deixam de ser acompanhados, um-a-um, pelos números pares (direita). Por incrível que pareça, as duas quantidades infinitas são idênticas.
Os contra-argumentos acima são bons avanços, mas tampouco são satisfatórios. Em CONTRA SIM há uma ideia maravilhosa e racional do infinito, a meu ver, mas que até hoje não conseguiu se tornar matemática formalizada e utilizável; em CONTRA NÃO, a despeito da argumentação superficialmente plausível (mas que é adotada pela matemática moderna), é patente que a quantidade de números naturais não pode ser idêntica à quantidade de números pares, pela razão óbvia de que os números naturais incluem todos os números pares e ainda alguns outros. De fato, incluem infinitos elementos a mais que os pares: claro, os ímpares. A quantidade de pares + ímpares não pode ser igual à quantidade de pares, é claro.
Aos especialistas: esse último argumento não poderia ser mais óbvio e devastador. Infelizmente, é depreciado como “grave falha intuitiva” no meio matemático, porque ele contesta os atuais fundamentos estabelecidos. Bem, pior para tais “fundamentos”. Na verdade, os matemáticos varreram pra debaixo do tapete a questão real sobre a “quantidade de elementos” de conjuntos infinitos. No lugar disso, criaram um termo nebuloso, uma espécie de paródia operacional obscura do conceito de “quantidade”, isto é, a tal cardinalidade. De modo bem esotérico, se diz tecnicamente que a “cardinalidade” (e não a quantidade de elementos) dos números pares é idêntica à dos números naturais. Oras, o que é cardinalidade? A resposta honesta seria: um substituto artificial, sem significado porém útil, do conceito de “quantidade”.
Se algo tão bizarro foi eleito como fundamento da matemática moderna, é obviamente porque os matemáticos, a curto e médio prazo, estão mais interessados em algo que funcione na prática do que em algo que faça sentido. E, na prática, foi o esquema (pseudo) conceitual acima, devido a Cantor e Dedekind, que triunfou, porque implicava em uma matemática que, apesar de bizarra, se prestou bem à formalização lógica e, assim, ao uso efetivo.
Isso é bom, claro. Os matemáticos apenas não deviam se esquecer de que, enquanto usam muletas que funcionam, as verdadeiras questões filosóficas continuam ali, esperando seu momento. Ninguém deveria confundir utilidade com verdade. Infelizmente, a matemática moderna está infestada deste espírito.
Dito isso, flagrei pelo menos Richard Courant, em O que é matemática?, sendo devidamente explícito sobre o fato de que “cardinalidade” (ou “equivalência”) não é o mesmo que “quantidade de elementos”. À página 96: “o conjunto de todos os inteiros contém mais elementos do que o conjunto de inteiros pares (…) mas vimos que estes conjuntos são equivalentes [= possuem a mesma cardinalidade]“. Alguém pode pensar que isto fosse óbvio e que estou fazendo tempestade em copo d´água… Mas se os matemáticos estão cientes de que “cardinalidade” e “quantidade de elementos” são coisas diferentes, por que fazem sempre alarde sobre o aspecto supostamente paradoxal de, por exemplo, os números naturais terem “a mesma cardinalidade” dos números pares? A menos que cardinalidade significasse “quantidade de elementos”, não há paradoxo algum.
Sejamos francos: “cardinalidade” é um termo anfíbio, semanticamente impreciso, “meio que” significando “quantidade de elementos”. É por isso que se diz confusamente que o conjunto dos naturais e o dos pares “têm o mesmo tamanho” – isto não deveria ser dito, afinal. É apenas sintaticamente, no formalismo puro, que o termo “cardinalidade” adquire precisão, como um conjunto de definições operacionais. Para um realista matemático, claro, isto não basta.
As argumentações expostas em SIM e NÃO, CONTRA SIM e CONTRA NÃO, tranquilamente se prestam a outras réplicas e tréplicas, fazendo a razão oscilar entre considerar todos os infinitos iguais ou não. É uma discussão fascinante.
Mas afinal, todos os infinitos são iguais?
No contexto desde post, ao menos, a resposta tem de ser definitivamente “não”. Isto pelo seguinte: é verdade que, para a matemática “oficial”, conjuntos infinitos como o dos números naturais, o dos pares, o dos primos e até o das potências de 1 trilhão têm todos exatamente a mesma quantidade de elementos “cardinalidade”. Ainda assim, há outros conjuntos que são infinitamente maiores (!) do que todos os já citados. Um exemplo? O conjunto dos números reais. Você se lembra: naturais são os famosos 1, 2, 3, 4, 5… Já os reais incluem todo tipo de número “quebrado”: meio (0,5), um terço (0,3333…), um quarto (0,25), um oitavo (0,125), raiz quadrada de dois (1,41421…), pi (3,14159…), etc.
Pois bem: segundo a matemática hoje estabelecida, existem mais números reais (mesmo só considerando os que há, por exemplo, entre 0 e 1) do que números inteiros (mesmo em sua totalidade)! Curioso? Há um argumento espetacular pra isso, a famosa “Diagonal de Cantor” (contra o qual, aliás, também nutro reservas), mas eu não quero me alongar aqui. Falarei disso em meu próximo post. O importante, agora, é apenas reconhecer que nem todos os infinitos são iguais, mesmo para a matemática estabelecida.
Eu discordo da matemática estabelecida, mas também acho que nem todos os infinitos são iguais. A diferença é que, pra mim, nenhum infinito (∞) é igual ao outro. Um ∞x + 1 será igual a um ∞y; e este ∞y + 1, por sua vez, resultará num ∞z; o que, claro, significa que ∞x + 2 = ∞z; e que ∞z – ∞x = 2 (não é difícil entender, só olhar com atenção 
).
A ideia acima é bonita, mas difícil (senão impossível) de tornar praticável – sobretudo porque não temos um meio de expressar uma quantidade infinita específica, do mesmo modo que fazemos com quantidades finitas. Sabemos que finitoA + 1 = finitoB, mas também podemos “abrir a caixa” e ver que finitoA vale talvez exatamente 97, portanto finitoB valerá 98. E isso é matemática de verdade, aplicável. Não podemos, contudo, “abrir a caixa” de valores infinitos e dizer que ∞x vale exatamente 34871263[infinitos-n-dígitos]812, portanto ∞y vale 34871263[infinitos-n-dígitos]813. Ficamos limitados a falar vagamente. Até que surja uma ideia genial, ao menos.
Mas quer eu esteja certo, quer esteja certa a matemática moderna, nem todos os infinitos são iguais.
Isso foi pra aquecer. V Encontro Intelectual (V EI) me aguarde.
