Guerra de Infinitos

Note que, para Cantor, todos os infinitos ‘enumeráveis’ são iguais (as aspas são porque, se eu estiver certo, não há tal coisa como infinito ‘não-enumerável’), e a prova trabalha sob esse pressuposto.

A meu ver, ao contrário, cada infinito tem um tamanho específico, determinado pela sua quantidade específica de elementos. Não há “o infinito” como não há “o finito”.

Vejamos a lista embaralhada dos lR entre 0 e 1:

0,67892…
0,82374…
0,11795…
0,64188…
0,17348
.
.
.

Segundo Cantor, não importa como façamos tal lista, sempre podemos construir um número (na verdade, vários) que esteja fora dela. No caso da disposição acima, basta que nosso número tenha dígitos respectivamente diferentes de 6, 2, 7, 8, 8, etc. Por exemplo, o número 0,74655… (se continuamos o procedimento substitutivo após as reticências) não faz parte da lista em hipótese alguma.

Assim, prova-se (?) que há números reais não listáveis entre 0 e 1.

Mas isso apenas sob o pressuposto de que todos os infinitos naturais são iguais.

Pois veja o que ocorre se usarmos a tática de Cantor para casos finitos:

a) Para duplas de 1 e 2:

0,11
0,12
0,21
0,22

A receita de Cantor nos permite forjar o número 0,21. De fato, ele não está na parte da lista que a diagonal alcança. Mas está na parte debaixo.

b) Para triplas de 1 e 2:

0,111
0,112
0,121
0,122
0,211
0,212
0,221
0,222

Outra vez, a receita nos permite 0,222. Outra vez, isso (só) prova que 0,222 não pode estar na parte atingida pela diagonal. Então, está abaixo dela. Tem que estar.

Quando aplicamos a estratégia ao infinito, Cantor presume que a quantidade de dígitos horizontalmente, por ser infinita, tem que ser igual à quantidade de números verticalmente, que também é infinita. Tal pressuposição implica que o infinito é “quadrado” e, portanto, que a diagonal sempre esgota a lista:

0,yxxxx…
0,xyxxx…
0,xxyxx…
0,xxxyx…
0,xxxxy
.
.
.

Mas, retire-se a pressuposição de que os infinitos são iguais, e ocorre o seguinte:

0,yxxxx…
0,xyxxx…
0,xxyxx…
0,xxxyx…
0,xxxxy
0,xxxxx…
0,xxxxx…
0,xxxxx…
0,xxxxx…
.
.
.

A argumento de Cantor só prova que, até onde a diagonal alcança, o número não pode estar incluído. Ele está sempre abaixo da diagonal. E isto porque o infinito horizontal é menor que o infinito vertical. Como os exemplos finitos claramente mostram, pra cada “casa de dígito” adicionada horizontalmente, multiplicam-se as possibilidades de combinação na parte vertical da lista – de modo que sua quantidade é exponencialmente maior.

Que as quantidades envolvidas sejam infinitas, é minha tese que tal fato não muda o ponto acima.

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