3EI 5 – Matemática

A NATUREZA DA MATEMÁTICA

Este foi um debate que tive mais especificamente com Diego.

Outra vez, a questão é a mesma: a matemática é uma verdade independente da mente humana, e que foi descoberta por nós? Ou é, de novo, como a verdade das regras do xadrez, apenas uma invenção nossa? Claro que eu esposo a primeira opção, e Diego esposa a segunda – embora ele até ache plausível a primeira. Mas o desenrolar deste debate tomou uma direção diferente do debate sobre a razão.

Começou quando em comprei a briga de defender que a matemática é uma só, e universal. E, claro, não significa que já saibamos tudo sobre ela: vamos descobrindo aos poucos, tanto quanto com as leis da física. Diego fez de tudo para me encurralar, dizendo que há vários tipos de matemática que, simplesmente, não são casos especiais de uma matemática “superior”, e sim coisas completamente diferentes.

Eu estipulei um critério de “matemática diferente”: se há uma matemática onde dois mais dois não somam quatro, então ela é diferente. Diego, encarnando O’Brien de 1984, realmente quis me fazer ver cinco dedos onde havia quatro! Começou por falar na matemática dos vetores, onde um segmento de, digamos, 2cm, é posto num certo ângulo com outro segmento de, digamos, 7cm. Feito isso, traça-se uma linha entre as suas pontas e, segundo uma operação complexa, “soma-se” os dois segmentos de forma que o resultado não é 9cm. “É outra matemática”, declara Diego.

Eu juro que fico pasmo com isso. Seja lá o que a operação matemática esteja fazendo entre os segmentos, não é uma soma. Ou pelo menos: não é soma de seus comprimentos, pelo menos – porque a soma de seus comprimentos é 9cm. Seja o que for que essa “soma de vetores” faça, é simplesmente outra coisa. E embora eu não tenha certeza, me parece que o próprio desenrolar dessa operação de “soma de vetores” pressupõe, num de seus passos, uma soma tradicional entre seno e coseno – o “tipo de soma” em que 2 + 2 = 4, é claro.

Exemplo parecido (e, a meu ver, confusão parecida) veio do Victor: como eu já sabia através de Brian Greene, há certas operações físicas sobre o comportamento das partículas que dependem de um tipo de multiplicação onde a propriedade comutativa não é válida! Isto é, algo com 5 x 2 não é igual a 2 x 5. Como é possível? “Só pode ser outra matemática!”, diz o tablóide. Mas, como felizmente esclarece Greene (e como Victor não sabia disso?), o que temos aqui é uma multiplicação de matrizes e não de números. É óbvio que 5 x 2 = 2 x 5. No caso das matrizes, porém, A x B é diferente de B x A (o que também é óbvio quando se estuda matrizes). O ponto é que “A” e “B” não são números, e sim matrizes, isto é, tabelas compostas de números.

Um número:  8

Uma matriz:

3 7 2 2
4 6 4 5
9 1 8 7

De algum modo, as partículas estão obedecendo a um complexo padrão que é capturado pela multiplicação de matrizes, não de números. Não é outra matemática que está operando aqui. Mais uma vez, o cálculo de matrizes pressupõe a aritmética básica do colégio: as células das matrizes são somadas e, como toda multiplicação é uma soma de parcelas iguais, onde quer que duas células correspondentes tenham o mesmo número, por exemplo 3, teremos a soma de 3 + 3 = 6, o que é exatamente a multiplicação 3 x 2 = 6 – que é idêntico a dizer que 2 x 3 = 6. No fundo, a propriedade comutativa da multiplicação de números está na essência da multiplicação de matrizes. Não se trata de outra matemática. É só um desenvolvimento complexo da velha e boa matemática onde 2 + 2 = 4.

Depois, Diego quis me mostrar que a matemática não está, e nem pode estar, no mundo – só existe na mente humana. Afinal, existem substâncias incontáveis: não se pode dizer quantos leites há na jarra, nem quantas areias há nas praias – embora se possa dizer quantos litros de leite há na jarra, e quantos grãos, ou toneladas, de areia há nas praias. Ou seja: tudo é questão de estipular uma unidade. E foi por aí que ergui minha defesa. Chegamos longe. Foi legal! =)

Num argumento digno de Zenão, Diego tentou mostrar que uma balança (sem defeito) pode dar um resultado incoerente com nossa matemática. Outra vez, pode ser que 2 + 2 = 5. Acontece assim: a primeira melancia pesada possui 2kg, segundo a balança. O mesmo ocorre com a segunda. Quando pesarmos as duas melancias juntas, quantos quilos teremos? Quatro, não? Bem, segundo Diego podemos ter cinco. Basta que cada melancia pese, na verdade, dois quilos e meio, e que nossa balança não tenha precisão pra medir meio quilo. 2,5 + 2,5 = 5. Pra matemática com que a balança trabalha, contudo, 2 + 2 = 5. What the fuck?!

Tudo isso foi pra Diego dizer que a “matemática dos números naturais” (que não inclui frações ou números negativos)  é diferente da “matemática dos números racionais” (que inclui frações como 6/2 ou 3,1415…). Eu poderia só dizer que essas “duas matemáticas” são a mesma, afinal, pois estão coerentemente unificadas pelo conjunto dos números reais. Mas, por questão de definição histórica, mesmo estes não são todos os números possíveis – ainda há os estranhos “números complexos”, como o “número i” (raiz quadrada de -1). Eu adoraria que esta bobagem definicional não abrisse as portas para a idéia de que os números complexos fazem parte de “outra matemática”, afinal eles interagem tranqüilamente com os números reais.

Lá no debate não fomos tão longe, contudo. Mantive apenas que uma balança infinitamente sensível poderia dar o valor exato do peso das duas melancias; se o peso de alguma fosse o valor de pi, era isto o que a balança registraria: uma seqüência infinita de algarismos – portanto, o problema de “2kg + 2kg = 5kg” era meramente logístico. E mais uma matemática “alternativa” acabou se revelando A Matemática.

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6 Respostas to “3EI 5 – Matemática”

  1. Diego Caleiro Says:

    A matemágica de Lauro-lelé:

    Era uma vez um reino encantado em que os objetos matemáticos eram pessoas de bem, homens e mulheres extremamente simpáticos que adoravam os alunos de escola e queriam parecer o mais fácil possível para eles.
    Para isso, eles decidiram que só iam aparecer em formas que pudessem ser representadas como pontos numa reta.
    O altos nobres da sociedade, os naturais, representariam uma distância igual entre si, e seria tão fácil pensar em somar dois deles que até uma criança conseguiria.
    As pessoas de menor importância, de uma casta mais baixa, escolheram os pontos intermediários, e tinham que pagar impostos para os naturais mais próximos. As pessoas de real baixo escalão e qualidade ocupavam por sua vez o espaço na reta metafórica dos números reais.
    Ninguém tinha direito de ir para baixo ou para cima. somente naquela reta estava todo o universo mágico de Lauro-lelé.

    Porem, conforme essa sociedade se desenvolveu, eles dominaram um outro povo, claramente inferior, e se reuniram em assembléia: Senhores, temos muitos escravos novos. Em tempos passados em nossa sociedade, para facilitar o entendimento de nossas crianças, os nobres naturais ordenaram que os racionais ficassem entre eles. Quando descobrimos os intocáveis, um sábio sugeriu que por conveniência colocássemos eles nos pontos intemediários entre os racionais, por exemplo raiz de 2. Nossos melhores matemáticos trabalharam por dez dias e dez noites para saber como alocar nossos novos escravos, os Komplexus, e ao cabo desse tempo, surgiu uma prova de que não existe mais nenhum lugar na reta que possa ser tomado pelos Komplexus. Diz o Conselheiro-geral:
    Infelizmente nossa metáfora terá de mudar senhores, os Komplexus impedirão que pensemos o maravilhoso mundo da matemática como uma reta, e teremos que pensar em um plano. É com muito pesar que nós, do mundo metamágico de Lauro-lelé informamos que doravante a educação infantil demorará 3 anos a mais, tamanha a complexidade de compreensão dessa nova metáfora, segundo os estudos de nossos psicólogos. Os conceitos matemáticos, de soma, subtração e etc…… também agora, como antes, nas outras transições, terá de ser renovado, modificado para acomodar nossos novos habitantes. Gostaria de lembra-lhes senhores, que a única razão pela qual nosso reino prosperou e pode dominar os Komplexus é o fato de que nossa metáfora da linha reta funcionou tão bem, e por conseguinte nossas crianças estão sempre dois anos a frente de todas as outras pessoas no mundo conhecido. Este é um dia negro para nossas escolas, mas um dia de ouro para o futuro de nossa nação. Obrigado.

    Diego Caleiro, conselheiro geral do reino metamágico matemágico de Lauro-lelê,

  2. Jonatas Says:

    Acho que concordo com o Diego aí…

    Dada a nossa idéia de 2 (**), e nossa idéia de 4 (****), a soma 2+2=4 é uma tautologia (** ** = ****). É ainda uma constatação, e como tal não é uma propriedade física. Se estamos somando estrelas, é também preciso delimitar mentalmente as unidades, por exemplo, poderíamos considerar a unidade como uma estrela ou como uma galáxia, ou o que for. A delimitação de unidade realmente parece ser inteiramente dependente de interpretação mental.

  3. Priscila Says:

    Diferentes medidas?

    Tratam-se apenas de estruturas algébricas distintas com as suas próprias operações definidas. Em relação ao exemplo dos vetores (não somente os vetores geométricos), você pode atribuir a eles uma soma e uma multiplicação por escalar qualquer que satisfaçam um conjunto de oito propriedades. De fato, ainda utilizando o exemplo dos Espaços Vetoriais, podemos citar o produto interno, que pode ser definido por uma operação que tenha determinadas propriedades e a partir dele definimos a norma e ângulo entre vetores. Há inúmeros produtos internos existentes, sendo o que é utilizado em cursos como geometria analítica é o produto interno usual.

    Já em relação a balança, aprendemos na primeira aula de laboratório que toda medida tem um grau de incerteza, devida a precisão finita dos instrumentos de medida que não dão valores absolutos. Então no caso da balança com erro de 0,5kg, temos um grau de incerteza de 1 kg ao somar a medida das duas melancias, e tudo o que poderiamos concluir é que a massa total m é 3 kg< m < 5 kg.

  4. Priscila Says:

    Em relação ao corpo dos reais, uma vez aceita a noção de sucessor de um número, não podemos aceitar que 2 + 2 = 5 uma vez que podemos abrir isso em (((1 + 1) + 1) + 1) = 4

  5. Priscila Says:

    só corrigindo: Lê-se naturais no lugar de reais

  6. Paralelo Says:

    Parece-me que Diego fez o suficiente, em seu post, pra derrubar a idéia de que a metáfora matemática da RETA seja suficiente para apreendê-la. Mas nada fez contra a idéia de que a matemática é uma só e universal.

    *****

    Jonatas, é verdade que nós, de certo modo, decidimos o que vamos considerar como “unidades” – uma unidade como “quilo” é certamente arbitrária, já uma como “grão de areia”, meio que salta da realidade pra nós. Mas tanto faz. Uma vez definida a unidade (e este é todo o o nosso papel), o resto decorre independentemente de nossas vontades e pensamentos. E é neste sentido que a matemática “está lá fora” – no sentido de que seria impossível ser de outro modo.

    *****

    Priscila, não compreendi bem seu ponto sobre os vetoriais. O resto me parece obviamente correto – e muito interessante. Mas a questão central está em coisas como “uma vez aceita a noção de sucessor”… e se não aceitássemos essa noção? Em que sentido poderíamos ter “2 + 2 = 5”, de modo que isto fosse verdade? (e aí me refiro aos números, não aos numerais). E, aliás, faria algum sentido não aceitar essa noção?

    Obviamente, o ponto é se estamos tratando de convenções humanas, ou de descobertas.

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