Todos os Infinitos são Iguais?

Um teaser de minha apresentação para o V-EI, em abril.

Todos sabem que o infinito matemático é enlouquecedor. A simples ideia de uma quantidade “sem fim” parece incompreensível, senão mesmo um disparate. E, no entanto, nossas intuições sobre o infinito são pesadas como âncoras, dificílimas de remover; o que é especialmente problemático (e empolgante), já que várias destas intuições são contraditórias entre si!

Todos os infinitos são iguais?

A maioria das pessoas tem certeza absoluta de que a resposta é “sim”… e, também, de que a resposta é “não”!

Vejamos [pra facilitar me limitarei aos números positivos]:

SIM – É claro que a resposta é sim, pensam elas, porque infinito “mais um” continua sendo infinito. E, aliás, o mesmo vale para infinito menos um; ou vezes quatro; ou dividido por 500; ou raiz quadrada de infinito. Dá sempre infinito, nada se altera.

NÃO – Mas é claro que a resposta é não, pensam elas, porque embora a quantidade de números naturais (1, 2, 3, 4, 5,…) seja infinita, podemos pegar só a metade deles – por exemplo, os números pares (2, 4, 6, 8, 10,…) – e teremos ainda outra quantidade infinita. Como esta segunda quantidade, embora infinita, é apenas metade da primeira, vemos imediatamente que certos infinitos são maiores que outros.

Desnecessário dizer que as duas argumentações, SIM e NÃO, são difíceis de engolir.

CONTRA SIM – Na ilha caribenha ‘El Infinito’ a população atual é de infinitas pessoas. E você está de mudança para lá. Desta perspectiva parece evidente que a quantidade de pessoas da ilha será alterada com sua presença. Ao que parece, qualquer quantidade infinita + 1 dará outra quantidade infinita, diferente da primeira – e a diferença, claro, será justamente de 1. Veja: se você retirar de ‘El Infinito’ todas as pessoas que estavam lá antes da sua chegada, sobrará exatamente você na ilha, sozinho. Neste caso, infinito (população original + você) menos infinito (população original) dá 1 (você). Claro: se você tivesse ido com a namorada, então infinito (população original + casal) menos infinito (população original) daria 2 (você e sua namorada). Se é assim, todos os infinitos são iguais coisa nenhuma. Cada infinito é de um tamanho específico diferente!

CONTRA NÃO – Basta pensar melhor pra ver que a quantidade de números naturais é, afinal de contas, idêntica à quantidade de números pares, em vez de ser “o dobro” dela. Afinal, para cada número natural existe exatamente um número par – nem mais, nem menos! Basta listar os números naturais (1, 2, 3, 4,…) ao lado dos números pares (2, 4, 6, 8,…) pra ver isto:

1 <—> 2
2 <—> 4
3 <—> 6
4 <—> 8
5 <—> 10
6 <—> 12
.
.
.
317 <—> 634
318 <—> 636
.
.
.

…e assim por diante, “ao infinito e além”, rs: os números naturais (esquerda) nunca deixam de ser acompanhados, um-a-um, pelos números pares (direita). Por incrível que pareça, as duas quantidades infinitas são idênticas.

Os contra-argumentos acima são bons avanços, mas tampouco são satisfatórios. Em CONTRA SIM há uma ideia maravilhosa e racional do infinito, a meu ver, mas que até hoje não conseguiu se tornar matemática formalizada e utilizável; em CONTRA NÃO, a despeito da argumentação superficialmente plausível (mas que é adotada pela matemática moderna), é patente que a quantidade de números naturais não pode ser idêntica à quantidade de números pares, pela razão óbvia de que os números naturais incluem todos os números pares e ainda alguns outros. De fato, incluem infinitos elementos a mais que os pares: claro, os ímpares. A quantidade de pares + ímpares não pode ser igual à quantidade de pares, é claro.

Aos especialistas: esse último argumento não poderia ser mais óbvio e devastador. Infelizmente, é depreciado como “grave falha intuitiva” no meio matemático, porque ele contesta os atuais fundamentos estabelecidos. Bem, pior para tais “fundamentos”. Na verdade, os matemáticos varreram pra debaixo do tapete a questão real sobre a “quantidade de elementos” de conjuntos infinitos. No lugar disso, criaram um termo nebuloso, uma espécie de paródia operacional obscura do conceito de “quantidade”, isto é, a tal cardinalidade. De modo bem esotérico, se diz tecnicamente que a “cardinalidade” (e não a quantidade de elementos) dos números pares é idêntica à dos números naturais. Oras, o que é cardinalidade? A resposta honesta seria: um substituto artificial, sem significado porém útil, do conceito de “quantidade”.

Se algo tão bizarro foi eleito como fundamento da matemática moderna, é obviamente porque os matemáticos, a curto e médio prazo, estão mais interessados em algo que funcione na prática do que em algo que faça sentido. E, na prática, foi o esquema (pseudo) conceitual acima, devido a Cantor e Dedekind, que triunfou, porque implicava em uma matemática que, apesar de bizarra, se prestou bem à formalização lógica e, assim, ao uso efetivo.

Isso é bom, claro. Os matemáticos apenas não deviam se esquecer de que, enquanto usam muletas que funcionam, as verdadeiras questões filosóficas continuam ali, esperando seu momento. Ninguém deveria confundir utilidade com verdade. Infelizmente, a matemática moderna está infestada deste espírito.

Dito isso, flagrei pelo menos Richard Courant, em O que é matemática?, sendo devidamente explícito sobre o fato de que “cardinalidade” (ou “equivalência”) não é o mesmo que “quantidade de elementos”. À página 96: “o conjunto de todos os inteiros contém mais elementos do que o conjunto de inteiros pares (…) mas vimos que estes conjuntos são equivalentes [= possuem a mesma cardinalidade]”. Alguém pode pensar que isto fosse óbvio e que estou fazendo tempestade em copo d´água… Mas se os matemáticos estão cientes de que “cardinalidade” e “quantidade de elementos” são coisas diferentes, por que fazem sempre alarde sobre o aspecto supostamente paradoxal de, por exemplo, os números naturais terem “a mesma cardinalidade” dos números pares? A menos que cardinalidade significasse “quantidade de elementos”, não há paradoxo algum.

Sejamos francos: “cardinalidade” é um termo anfíbio, semanticamente impreciso, “meio que” significando “quantidade de elementos”. É por isso que se diz confusamente que o conjunto dos naturais e o dos pares “têm o mesmo tamanho” – isto não deveria ser dito, afinal. É apenas sintaticamente, no formalismo puro, que o termo “cardinalidade” adquire precisão, como um conjunto de definições operacionais. Para um realista matemático, claro, isto não basta.

As argumentações expostas em SIM e NÃO, CONTRA SIM e CONTRA NÃO, tranquilamente se prestam a outras réplicas e tréplicas, fazendo a razão oscilar entre considerar todos os infinitos iguais ou não. É uma discussão fascinante.

Mas afinal, todos os infinitos são iguais?

No contexto desde post, ao menos, a resposta tem de ser definitivamente “não”. Isto pelo seguinte: é verdade que, para a matemática “oficial”, conjuntos infinitos como o dos números naturais, o dos pares, o dos primos e até o das potências de 1 trilhão têm todos exatamente a mesma quantidade de elementos “cardinalidade”. Ainda assim, há outros conjuntos que são infinitamente maiores (!) do que todos os já citados. Um exemplo? O conjunto dos números reais. Você se lembra: naturais são os famosos 1, 2, 3, 4, 5… Já os reais incluem todo tipo de número “quebrado”: meio (0,5), um terço (0,3333…), um quarto (0,25), um oitavo (0,125), raiz quadrada de dois (1,41421…), pi (3,14159…), etc.

Pois bem: segundo a matemática hoje estabelecida, existem mais números reais (mesmo só considerando os que há, por exemplo, entre 0 e 1) do que números inteiros (mesmo em sua totalidade)! Curioso? Há um argumento espetacular pra isso, a famosa “Diagonal de Cantor” (contra o qual, aliás, também nutro reservas), mas eu não quero me alongar aqui. Falarei disso em meu próximo post. O importante, agora, é apenas reconhecer que nem todos os infinitos são iguais, mesmo para a matemática estabelecida.

Eu discordo da matemática estabelecida, mas também acho que nem todos os infinitos são iguais. A diferença é que, pra mim, nenhum infinito (∞) é igual ao outro. Um x + 1 será igual a um y; e este y + 1,  por sua vez, resultará num z; o que, claro, significa que ∞x + 2 = ∞z; e que ∞z – ∞x = 2 (não é difícil entender, só olhar com atenção ;)).

A ideia acima é bonita, mas difícil (senão impossível) de tornar praticável – sobretudo porque não temos um meio de expressar uma quantidade infinita específica, do mesmo modo que fazemos com quantidades finitas. Sabemos que finitoA + 1 = finitoB, mas também podemos “abrir a caixa” e ver que finitoA vale talvez exatamente 97, portanto finitoB valerá 98. E isso é matemática de verdade, aplicável. Não podemos, contudo, “abrir a caixa” de valores infinitos e dizer que ∞x vale exatamente 34871263[infinitos-n-dígitos]812, portanto ∞y vale 34871263[infinitos-n-dígitos]813. Ficamos limitados a falar vagamente. Até que surja uma ideia genial, ao menos.

Mas quer eu esteja certo, quer esteja certa a matemática moderna, nem todos os infinitos são iguais.

Isso foi pra aquecer. V Encontro Intelectual (V EI) me aguarde.

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3 Respostas to “Todos os Infinitos são Iguais?”

  1. Douglas Costa Says:

    Apesar da enorme explicação e de ter entendido, continuo imaginando que os infinitos são do mesmo tamanho. Aquela velha pergunta: “Porque infinitos não são representados por letras?” “Porque letras representam números, limitados”.

    Penso que, toda vez que vamos comparar infinitos, acabamos limitando-os, para fazê-los se adaptarem ao nosso senso de que tudo tem um limite e deve ser contado. Dizer que um ∞ + 1 ser diferente de um ∞, significa que estamos considerando que ∞ é um valor pré-estabelecido, que deve ser mantido, como x + 1. Mas sabemos que não o é. O ∞ não é um número, é um ∞ não calculado, portanto, dizer que um infinito é maior que o outro é, de qualquer modo, limitar os infinitos em números conhecidos. Se infinito fosse um número, não seria infinito, pois seria limitado.

    Por favor, peço que corrija algum equívoco.

    Obs.: sobre existir mais infinitos entre 0 e 1, do que entre os números reais, nunca entendi muito bem, que tal fazer um post sobre o assunto?

    Obrigado.

  2. Paralelo (Lauro Edison) Says:

    Douglas,

    até pode ser. Creio que você, como muitos, concebe o infinito como uma espécie de “finitude indefinidamente crescente”. Neste caso, acrescentar 1 não pode mesmo alterar essa natureza — afinal, acréscimos intermináveis são justamente a essência do infinito, nesse caso.

    Particularmente tenho uma dificuldade enorme com essa concepção: a cada etapa (de somar 1, por exemplo; ou duplicar, ou elevar à bilionésima potência, tanto faz), temos uma quantidade finita. E… não há etapa final; tampouco se *atinge* quantidades em si mesmas infinitas em algum ponto; digamos, depois de infinitas etapas — simplesmente não ocorre de eventualmente se atingir infinitas etapas. E me parece que, aí sim, estamos assumindo nossa limitação como medida do que é possível.

    Quando pensamos no infinitamente pequeno, não parece haver saída. A linha abaixo, por exemplo:

    0______________________1

    É considerada possuir infinitos pontos. Isso não pode ser no sentido de que ela tem “finitamente crescentes pontos”. Ela TEM, de fato, infinitos pontos. Atualmente, e não potencialmente, para usar os termos conhecidos. E cada ponto tem identidade própria. Então há uma quantidade específica de pontos. E infinita. Um número infinito, pois, de pontos.

    Penso, simplesmente, que se se acrescentar 1 ponto a mais na reta acima, ela cresce 1 ponto — em vez de não crescer em absoluto, o que me parece absurdo. “Mas um ponto mede zero”, dirá o especialista. Mas isso não é garantido (pense-se na conhecida estranheza probabilística: se Deus for sortear um ponto dessa reta, a probabilidade de qualquer ponto ser sorteado é… zero!); e nem é garantido que, caso um ponto meça zero, não possa acrescentar tamanho à reta (afinal, aí está ela, larga como é, feita de pontos que supostamente medem zero).

    Você diz “o ∞ não é um número”, e não é mesmo: seja interpretando o símbolo como nosso conceito natural de infinito (seja qual for), seja o interpretando segundo o formalismo da matemática standard. Mas, dado o que eu escrevi, o “finito” (tomado assim de forma vaga) também não é um número. Simplesmente, se a visão do infinito apresentada estiver certa, haverá números infinitos específicos, assim como há números finitos específicos. É o que ocorre na matemática não-standard.

    Quanto ao post que você pediu, na verdade ele existe:

    https://aventurahumana.wordpress.com/2011/06/18/loucura-infinita/

    Talvez você já o tivesse achado, rs.

    Enfim, de nada. 😉

  3. Jason Ralf Says:

    A teoria quântica mostra que a nível quântico não existe informação sobre qualquer coisa:tamanho,altura,leve ou pesado,cheio ou vazio,claro ou escuro,grande ou pequeno,limitado ou ilimitado,um ou todos.Não há mesuração de sobre nada.Ou seja ,um estado de indefinição absoluta onde não se tem ideia de coisa alguma.e ao mesmo tempo um potencial INFINITO de informação sobre qualquer coisa.fazendo uma comparação com essa teoria veremos que o infinito é aquilo que não pode ser mesurado ou medido.Analisando todos os infinitos veremos que todos eles possuem uma característica em comum:nenhum deles pode ser medido.Ou todos eles convergem para um memo lugar:O Mundo Quântico.Essa é a minha opinião sobre o infinito.

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