Loucura Infinita

Fiquei devendo esse post sobre o “Argumento Diagonal de (Georg) Cantor”, algo aparentemente sisudo mas na verdade chocante, quando falei do infinito dois posts atrás. Para simplificar, excluirei números negativos da explicação. E escreverei as decimais usando ponto, em vez de vírgula, para não confundir com as vírgulas do texto.

O que você verá a seguir é a explicação de por que existem mais números entre 0 e 1 (números “complicados” como 0.5, 0.222, 0.36146, 0.62626262…, 0.172837846…) do que todos os números “simples” como 1, 2, 6 , 10, 42, 339, 1777326, etc. E por que eu tenho a desconfiança herética de que tal explicação está errada (“herética” é eufemismo… minha desconfiança é considerada ridícula por qualquer especialista).

Claro que escrevi de um modo que tentasse impressionar até o mais leigo em matemática. O que chamei de números “simples”, na verdade, é o conjunto dos números naturais, simbolizado por lN e formado pela série 1, 2, 3, 4, 5… ao infinito. E o que chamei de números “complicados” é o conjunto dos números reais, simbolizado por lR e incluindo, além de todos os números naturais, também números “quebrados” como 2.5 ou pi, que é “3.14159… e nunca acaba”. Só observe que, aqui, “2.5” e “3.14159…” não servem, pois são maiores que 1, e só vou falar dos números reais entre 0 e 1, como eu disse. Não que haja algo especial entre 0 e 1 – serviria entre zero e meio, entre 1 e 2, entre 4 e 7, entre 344 e 900; serviriam inclusive todos os números reais. Simplesmente, precisamos de algum foco, e minha explicação será mais fácil com o exemplo do intervalo entre 0 e 1.

A ideia inicial de Georg Cantor, matemático que revolucionou a concepção do infinito em fins do século XIX, é que dois conjuntos possuem o mesmo tamanho se seus elementos puderem ser dispostos em duplas, sem que sobre nenhum elemento sem par. É o que se chama de “correspondência um-a-um”. Em qualquer exemplo finito, isto é óbvio: se tenho uma caixa de maçãs e um grupo de pessoas, e cada pessoa fica exatamente com uma maçã, sem sobrar nenhuma maçã sem dono, e nenhuma pessoa sem maçã, isto prova que a quantidade de pessoas e de maçãs é a mesma – mesmo que não saibamos que quantidade é essa.

Cantor aplicou a mesma ideia a conjuntos infinitos. Note as duplas a seguir: de um lado, todos os números naturais (lN); de outro, apenas números naturais pares (P):

lN <—–> P

1 <—–> 2
2
<—–> 4
3
<—–> 6

4 <—–> 8
5 <—–> 10
ao infinito.

Como para cada número natural há um e somente um número par correspondente, a tal correspondência um-a-um, então os dois conjuntos – por incrível que pareça – possuem o mesmo tamanho. Exatamente como oito fatias de pizza para oito pessoas.

Mas isto não ocorre entre números números naturais e números reais – nem mesmo considerando apenas os números reais que há entre 0 e 1.

Cantor mostra isto do seguinte modo: imagine o contrário, isto é, imagine que você pudesse fazer correspondência um-a-um entre números naturais e números reais entre 0 e 1 (doravante, “números reais entre 0 e 1” será abreviado para “números reais”). Isto significaria que, para cada número natural, poderíamos associar um número real, sem que sobrasse número algum sem correspondente, em qualquer grupo. Por exemplo, o número “1” seria associado com “0.75629…“; o número “2” com “0.00321…“; “3” com “0.91526…“, e assim por diante, ao infinito, sem sobrar número nenhum (já vou explicar por que coloquei os reais fora de ordem). Mas isto é chocantemente impossível – ou assim parece concluir o argumento de Cantor (essa é minha ressalva ridícula, ignore).

Detalhe: você certamente notou que coloquei os números reais fora de ordem acima. Sim, eu os embaralhei. É mais fácil explicar assim. E, na verdade, não dá pra colocá-los em ordem! Depois de um número real qualquer existem infinitos outros, mas nenhum é “o próximo número”. Mesmo que eu forçasse a barra pra fazer isso, teria no máximo uma lista assim: “1” com “0.00000“; o número “2” com “0.00000“;3” com “0.00000…” – não se trata do mesmo número repetido, mas a diferença entre eles só poderia aparecer infinitas casas decimais após as reticências… Impossível mostrar. Então, é preciso embaralhá-los para explicar o argumento; mas isso não é problema: a quantidade de cartas não muda se você embaralhá-las.

Hora da ação: dada qualquer lista possível de duplas entre, de um lado, números naturais e, de outro, números reais, dá pra descobrir um número real que está entre 0 e 1 e, mesmo assim, não está na lista!

Digamos, por exemplo, que a lista supostamente completa, com todos os números naturais de um lado, e todos os números reais de outro, seja esta (é uma lista infinita, então claro que só cabe parte dela aqui – mas não faz diferença):

lN <—–> lR (entre 0 e 1)

1 <—–> 0.75629…
2
<—–> 0.00321
3
<—–> 0.91526…
4 <—–> 0.43728…
5 <—–> 0.17265…
ao infinito.

Parece perfeito: todos os naturais à esquerda; todos os reais (entre 0 e 1, lembre) à direita. Todos mesmo?

Cantor consegue descobrir um número (na verdade, infinitos números, mas um já basta) que está entre 0 e 1, mas que não pode estar nesta lista. E ele consegue fazer isso com qualquer lista possível, em qualquer ordem, diga-se. O que, claro, prova que nenhuma lista pareada lado-a-lado com os números naturais pode conter todos os números reais. De fato, sobram obrigatoriamente infinitos números reais fora da lista!

Como Cantor descobre esses números “não listados”?

Antes de mais nada, tome o seguinte cuidado para não se perder: 0.75629… é um número. Já o primeiro 7 após o ponto (bem como o 5 ou o 9) é um algarismo, ou uma casa decimal. Então o que temos, em nosso exemplo principal, é uma lista infinita de números (entre 0 e 1), e cada número tendo infinitos algarismos. Assim, não confunda as duas coisas.

Cantor usa a seguinte estratégia: se um número for diferente de todos os que estão na lista, então é claro que ele não está na lista. Para isso, Cantor começa humilde: quer achar um número que seja diferente apenas do primeiro da lista. Fácil, não? O primeiro número de nossa lista, por acaso, é 0.75629… (não sublinhei o “7” à toa… observe) Não sabemos, é claro, quais outros algarismos compõem este número após as reticências. São infinitos, afinal. Com dez casas decimais, este número poderia bem ser 0.7562988765…, por exemplo, mas tanto faz. Não importa aqui. Basta olhar para a primeira casa decimal, que no caso é 7, e entender o seguinte: qualquer número cuja primeira casa decimal seja diferente de 7 é, obviamente, diferente do primeiro número de nossa lista – mesmo que todas as outras casas decimais sejam iguais. Assim, o número 0.85629, não importa como continue, é sem dúvida diferente do primeiro número de nossa lista. De fato, e é isto o que importa aqui, todos os números começados com 8 (ou qualquer outro valor que não 7) são diferentes de nosso primeiro número.

Agora, claro, Cantor dá o próximo passo: que este número, que já vimos ser diferente do primeiro da lista, também seja diferente do segundo da lista. Oras, o nosso segundo número é 0.00321 E seu segundo algarismo é 0. Obviamente, todos os números cujo segundo algarismo não seja 0 são diferentes de nosso segundo número – e o importante é que podemos ter certeza disso mesmo que não conheçamos mais nada do número, além de que seu segundo algarismo não é zero! Com certeza, nosso candidato 0.85629, que é diferente do primeiro número da lista, também é diferente do segundo. Será diferente do terceiro?

A estratégia é a mesma, claro. Nosso terceiro número é 0.91526…, cujo terceiro algarismo é 5. Outra vez, qualquer número cujo terceiro algarismo não seja 5 não tem chance de ser o terceiro número de nossa lista. Por acaso, nosso candidato continua invicto: 0.85629.

Não preciso dizer que basta fazer o mesmo para o quarto número em sua quarta casa decimal, para o quinto em sua quinta casa, para o centésimo em sua centésima casa, e assim por diante, ao infinito. O resultado será um número que está entre 0 e 1, pois começa com zero antes das casas decimais, mas que é diferente do primeiro, do segundo, do centésimo, do milésimo e, enfim, de todos os números da lista. Não está na lista, portanto!

Chama-se isto de “Argumento Diagonal”, é claro, porque se trata de descobrir um número composto por algarismos respectivamente diferentes de cada algarismo desta diagonal:

lN <—–> lR (entre 0 e 1)

1 <—–> 0.75629…
2
<—–> 0.00321
3
<—–> 0.91526…
4 <—–> 0.43728…
5 <—–> 0.17265
ao infinito.

Como a diagonal nos dá o número 0.70525, basta escolher um número cuja primeira casa decimal não seja 7, a segunda não seja 0… a quinta não seja 5a vigésima (após nossas reticências) não seja o-vigésimo-algarismo-do-vigésimo-número-da-lista, seja lá qual for… e assim por diante, sempre seguindo essa regra. O resultado será um número como, por exemplo, o nosso 0.85629 – um número diferente de todos os números da lista e que, portanto, não está na lista.

Resumo da ópera: os números existentes entre 0 e 1 não cabem numa lista ao lado dos números naturais “1, 2, 3, 4, 5,…” Qualquer lista deste tipo, embora inclua todos os números naturais de um lado, obrigatoriamente deixará de fora infinitos números reais de outro! Ergo, lN, embora infinito, é menor que lR; menor até que uma ínfima parte de lR, aquela contida entre 0 e 1.

*****

Por que o Argumento Diagonal não me convence?

Basicamente, por dois motivos.

O primeiro deles é sem dúvida o menos importante, mas ei-lo.

Existe um contra-argumento básico ao Argumento Diagonal, hoje automaticamente descartado como ineficaz. Mas esse julgamento me parece questão de alergia, e não de consequência lógica. O contra-argumento é o seguinte: se minha lista A não inclui todos os números reais, pois Cantor sempre descobre números que estão fora dela, então basta pegar todos esses números novos, descobertos por ele, e incluir na lista. Obviamente, surgirá uma nova lista B, formada pelos antigos números e pelos novos, recém-descobertos por Cantor. Claro, Cantor poderá fazer o mesmo na lista B: mostrar que ela ainda não inclui todos os números reais, pois fatalmente há muitos outros fora dela. Bem, inclua estes também! Isto nos dará uma lista C. Continuando isso, teremos uma lista D, uma E, uma F, ao infinito.

Agora, dado este processo infinito, por que concluir: “isto mostra que nunca haverá lista completa” em vez de concluir: “todo e qualquer número real pode ser listado, afinal… Então todos podem ser listados”? [Update 19.06.11 – pois pela mesma razão se poderia negar a correspondência entre naturais e pares (vide dois posts atrás), já que “nunca haverá lista completa”. Cada lista A de Cantor define uma quantidade de números que está fora dela, nos dando uma lista B; o processo se repete; seja lá qual for o número real em questão, ele é listável em algum ponto. Então todos são listáveis. Só porque temos uma etapa a mais em jogo – em vez se apenas passar ao próximo número, ad infinitum, passar à próxima lista infinita, também ad infinitum – o duplo critério, sobre a impossibilidade de o processo se completar em ambos os casos, aparentemente não se justifica.] Nem mesmo é claro se, após infinitas etapas (em vez de meramente finitas), não vamos obter a lista completa, afinal. Dada a extremamente difícil apreensão do conceito de “infinito” (que é o conceito que está em jogo aqui), não vejo como ter tanta segurança sobre o argumento de Cantor.

O especialista, claro, vai me perguntar como essa suposta “lista completa”, obtida após infinitas etapas, poderia escapar do Argumento Diagonal. Como ela poderia ser diferente das listas parciais anteriores?

Penso que ela poderia parecer com a lista que vou propor a seguir.

E que é o meu segundo, e mais importante, motivo de ceticismo.

Note que, para Cantor, todos os infinitos ‘enumeráveis’ são iguais (as aspas são porque, se eu estiver certo, não há tal coisa como infinito ‘não-enumerável’), e a prova trabalha sob esse pressuposto.

A meu ver, ao contrário, cada infinito tem um tamanho específico, determinado pela sua quantidade específica de elementos. Não há “o infinito” como não há “o finito”.

Vejamos a lista embaralhada dos lR entre 0 e 1:

0.67892…
0.82374…
0.11795…
0.64188…
0.17348
.
.
.

Segundo Cantor, não importa como façamos tal lista, sempre podemos construir um número (na verdade, vários) que esteja fora dela. No caso da disposição acima, basta que nosso número tenha dígitos respectivamente diferentes de 6, 2, 7, 8, 8, etc. Por exemplo, o número 0.74655… (se continuamos o procedimento substitutivo após as reticências) não faz parte da lista em hipótese alguma.

Assim, prova-se (?) que há números reais não listáveis entre 0 e 1.

Mas isso apenas sob o pressuposto de que todos os infinitos naturais são iguais.

Pois veja o que ocorre se usarmos a tática de Cantor para casos finitos. Tal analogia mostrará o que quero dizer:

a) Para duplas de 1 e 2:

0,11
0,12
0,21
0,22

A receita de Cantor nos permite forjar o número 0.21. De fato, ele não está na parte da lista que a diagonal alcança. Mas está na parte debaixo (não estou usando os dígitos 0, e de 3 a 9, claro, para simplificar o exemplo).

b) Para triplas de 1 e 2:

0,111
0,112
0,121
0,122
0,211
0,212
0,221
0,222

Outra vez, a receita nos permite 0.222. Outra vez, isso (só) prova que 0.222 não pode estar na parte atingida pela diagonal. Então, está abaixo dela. Tem que estar.

Quando aplicamos a estratégia ao infinito, Cantor presume que a quantidade de dígitos horizontalmente, por ser infinita, tem que ser igual à quantidade de números verticalmente, que também é infinita. Tal pressuposição implica que o infinito é “quadrado” e, portanto, que a diagonal sempre esgota a lista:

0,yxxxx…
0,xyxxx…
0,xxyxx…
0,xxxyx…
0,xxxxy
.
.
.

Mas, retire-se a pressuposição de que os infinitos são iguais, e em certo sentido ocorre o seguinte:

0,yxxxx…
0,xyxxx…
0,xxyxx…
0,xxxyx…
0,xxxxy
0,xxxxx…
0,xxxxx…
0,xxxxx…
0,xxxxx…
.
.
.

A argumento de Cantor só prova que, até onde a diagonal alcança, o número não pode estar incluído. Oras, ele está sempre abaixo da diagonal. E isto porque o infinito horizontal é logicamente menor que o infinito vertical. Como os exemplos finitos claramente mostram, pra cada “casa de dígito” adicionada horizontalmente, multiplicam-se as possibilidades de combinação na parte vertical da lista – de modo que sua quantidade é exponencialmente maior.

Penso que tal fato, decisivo, não é mudado pelo mero fato de as quantidades envolvidas serem infinitas.

Pelo menos, o argumento em contrário, até onde sei, é o de Cantor. Mas, se estou certo acima, tal argumento é circular, pois presume aquilo que supostamente prova: que todos os infinitos (enumeráveis) são iguais.

Imbecil e hereticamente, I rest my case.

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