MATEMÁTICA vs FILOSOFIA


 Trazer claramente à mente o que é significado por
conjunto, e distinguir essa noção de todas as noções
à qual ela é aparentada, é um dos mais difíceis
e importantes problemas da filosofia matemática.

— Bertrand Russell, The Principles of Mathematics (1903), p. 66


Como eu odeio a… Teoria dos Conjuntos! Mas sim, agora eu preciso explicar. Por que alguém em sã consciência diria algo assim? ¿A teoria dos conjuntos não é apenas aquela simpática linguagem auxiliar nas partes introdutórias de matemática, onde se diz coisas como “a pertence a B” (aB) ou “M está incluído em N” (MN)? Assim ela é apresentada nas escolas, certamente. Mas qualquer um que, como eu, se preocupe com os fundamentos objetivos da razão, logo se preocupará com os fundamentos da lógica e da matemática – os formais e, sobretudo, os informais. E cedo descobrirá que a teoria dos conjuntos – aquela mesma do colegial – é na verdade uma teoria surreal e altamente complexa que, longe de ser um ramo da matemática, é ampla e historicamente considerada o seu verdadeiro fundamento, até mesmo sua verdadeira metafísica (onde se chega a afirmar, por exemplo, que números são de fato apenas conjuntos).

Eu não posso concordar. Números são perfeitamente compreensíveis e objetivos. Conjuntos, muito ao contrário, são invenções teóricas bizarras – bem mais bizarras do que parecem à primeira vista – sem qualquer pé na realidade. Uma ideia vaga e cheia de ambiguidades, de que vários objetos “formam um conjunto”, é retorcida e modificada de formas complexas, até ser capaz de ser usada para “demonstrar” fatos previamente óbvios como que 2 + 2 são 4, que ⅓ de 24 é 8, que a solução de x² = 9 é ±3, e por aí vai, escala acima na complexidade matemática, como se os fatos sobre conjuntos fossem mais fundamentais ou evidentes que os fatos sobre números.

De um ponto de vista filosófico – e esse é o assunto deste texto – a teoria dos conjuntos é um fundamento absurdo para a matemática. O conflito é que, de um ponto de vista técnico e matemático, a mesma teoria dos conjuntos se provou espetacularmente frutífera e abrangente, além de perfeitamente rigorosa em termos formais. Que fazer desse conflito entre filosofia e matemática?

A ideia inicial é superficialmente plausível: olhe para a estante e o que você vê? Um conjunto de livros, não? Há conjuntos de coisas por toda parte, e falamos de conjuntos o tempo todo… não? Em cada texto introdutório de lógica, matemática ou teoria dos conjuntos, se chama atenção para esses fatos, como que mostrando que conjuntos são coisas perfeitamente aceitáveis, até banais. Mas a verdade é que, num conjunto de livros, não há nada além dos próprios livros individuais; isto é, não há os livros individuais e, além deles, o “conjunto” deles (como se fosse uma entidade extra). Mas os conjuntos da teoria dos conjuntos são exatamente esse tipo de fantasma ontológico: se você tem cinco livros, imediatamente você tem uma sexta coisa pairando sobre eles – a saber, o suposto conjunto dos cinco livros.

Como explica o matemático John Mayberry, “a suposição fundamental da teoria dos conjuntos é essa: sejam quais forem as coisas que há, pluralidades definidas compostas destas coisas são, elas próprias, coisas; e, como tais, servem como unidades em novas pluralidades” (The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets, 2001, p. 61). Pois bem, se essa é a suposição fundamental, ouso afirmar que é obviamente falsa. É justamente essa licença metafísica absurda, de criar entidades do nada, que está por trás de toda a concepção matemática moderna. Você gera – magicamente – objetos chamados “conjuntos” a partir de objetos ordinários. E embora a ideia inicial fosse apenas que vários objetos poderiam formar um conjunto – o que já é absurdo o suficiente se tal “conjunto” é algo distinto dos objetos – o fato é que um só objeto basta para fazer a mágica; não, é ainda pior: mesmo nenhum objeto basta! Como cada um de nós aprendeu no colégio, dado um objeto qualquer, digamos uma bicicleta, haverá logo um outro objeto distinto, surreal e insuspeito, chamado “o conjunto unitário da bicicleta” [em inglês, o termo para “conjunto unitário” é singleton, então seria o singleton da bicicleta; doravante usarei esse termo]. Eis abaixo, plenamente apresentados, nossos dois objetos:

Enquanto o primeiro objeto é de fato ordinário, o segundo é um tipo incompreensível de entidade; em particular, não é uma bicicleta, e nem outro objeto físico – então é o quê? E, como sempre, se temos essas duas entidades, também temos automaticamente uma terceira, ainda mais estranha – o conjunto das duas anteriores:

Mas então agora temos três. E se temos três, temos quatro (a saber, o conjunto das três anteriores); e se temos quatro, temos cinco; ad infinitum… O que é basicamente a razão de por que a teoria dos conjuntos funciona como fundamento da matemática: os próprios números são gerados exatamente desse modo. De fato, eles são gerados a partir de um conjunto especialmente estranho. Pois o que ocorre se não há nenhum objeto para começar? Oras, o que você acha? O seguinte!

Isto é, existe um conjunto de nada, o famoso conjunto vazio: Ø. O conjunto em si, veja só, é alguma coisa – um objeto como qualquer outro. Pura e simplesmente, ele não é um conjunto de vários objetos ou mesmo de um só objeto; é um conjunto de objeto nenhum. Não bastasse isso, nos dizem que tal conjunto paradoxal é o próprio número zero (e o conjunto dele – a saber, {Ø} – é o um; e o conjunto dele e do um – {Ø, {Ø}} – o dois; etc., como acima). Pois sim, como eu odeio a Teoria dos Conjuntos! De algum modo, essa magia negra metafísica se tornou o fundamento reconhecido da matemática moderna.

Eu poderia listar uma série de estranhezas adicionais, e há muitas delas, mas de especial interesse aqui são duas: o fato de supostamente haver conjuntos infinitos, o que é toda uma nova camada de absurdo em cima do que já vimos, e o fato de que mesmo aceitando tudo isso, ainda a esmagadora maioria – de fato, a quase totalidade! – das coleções não formarem conjuntos (sob pena de contradição).

Primeiro, os supostos conjuntos infinitos. Como pode haver tal coisa? Por mais que você admita toda a magia anterior, tudo o que você consegue obter com ela são conjuntos finitos: o singleton da bicicleta; o conjunto duplo contendo a bicicleta mais… o singleton da bicicleta; o conjunto contendo a bicicleta e os dois conjuntos anteriores; e por aí vai:

        . . .

Note que todos os conjuntos gerados (ou descobertos, como queira) por esse princípio são finitos: possuem um, dois, três, quatro, etc., elementos – nunca infinitos. E, no entanto, quase a primeira coisa que é ensinada em aritmética elementar, como se não fosse nada demais, é que existe um conjunto dos números naturais, isto é, um conjunto contendo todos os números naturais; um conjunto infinito:

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

Outra vez, como pode haver tal coisa? Você pode ter os seguintes conjuntos abaixo, todos finitos:

0 = {  }
1 = {0}
2 = {0, 1}
3 = {0, 1, 2}
4 = {0, 1, 2, 3}

Por essa via, é absolutamente impossível chegar a algo como ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}. Se há infinitos números, isso pode justamente implicar que eles não formam uma totalidade: não se pode capturá-los todos num agrupamento definitivo, exatamente porque dado qualquer agrupamento específico, sempre há mais números fora. O filósofo Adrian Moore, considerando se existem quaisquer conjuntos infinitos, e ainda que tomando os números naturais como um exemplo plausível, sintetizou a dúvida assim: “parece que haver infinitamente muitas coisas de um certo tipo significa precisamente que elas resistem a ser coletadas juntas desse modo” (The Infinite, 1990, p. 10). Pra falar pitorescamente, simplesmente não há meios de fechar as chaves em {0, 1, 2, 3, 4, 5, … e assim formar um objeto. Não se pode fechar as chaves após o 4, nem após 7 milhões, nem em parte alguma. Defensavelmente, essa é a essência do infinito. Mas o que a teoria dos conjuntos standard nos diz? Simplesmente afirma de forma gratuita – num axioma – que infinitos elementos podem formar um conjunto definido, e ponto final. E é isso o que está por trás de todas as afirmações inacreditáveis sobre o infinito, como a de que a quantidade de números naturais é igual à quantidade de números pares, por um lado, ou à de números racionais, por outro; ou de que nenhuma lista discreta, mesmo infinita, pode conter todos os números reais (cuja quantidade, assim, é dita “incontável”). Visto nos fundamentos, nada disso é de surpreender: o postulado implícito é que a quantidade de números naturais é, basicamente, a pseudoquantidade dinâmica “sempre há mais” – e, nesse sentido, essa é “exatamente” a quantidade de números pares ou de racionais: “sempre há mais”. Grosso modo, é imediato sair disso para uma pseudoquantidade de nível superior, “sempre há mais e muito mais ainda além desses”, que é reservada aos números reais. O que me parece é que isso não é uma medida de quantidade em qualquer sentido concreto, mas uma medida do poder de criação metafísica de elementos – criação ex nihilo – em cada “conjunto infinito”: conjuntos finitos não podem criar novos elementos – só têm os elementos fixos que têm; conjuntos infinitos contáveis (i. e., do tamanho do conjunto dos números naturais) podem criar elementos ilimitadamente, desde que “de finitos em finitos”; e conjuntos infinitos incontáveis (entre eles, o conjunto dos números reais) podem criar elementos de formas mais e mais abundantes: de infinitos em infinitos, de incontáveis em incontáveis, etc. Obviamente não é assim que se costuma interpretar os conjuntos infinitos, como se fossem entidades “móveis”, essencialmente dinâmicas. Estou deliberadamente sugerindo que tal interpretação pode ser muito mais reveladora sobre o que realmente está por trás do formalismo.

Segundo, e mais rapidamente, o fato de a maioria das coleções não formarem conjuntos. Como assim? “Coleção” não é sinônimo de “conjunto”? Deveria ser, mas quando se postula o tipo de conjunto mágico de que trata a teoria dos conjuntos, o que se descobre é que ou a noção é contraditória, ou deve haver coleções – de fato, quase todas – que não são conjuntos. Pois se todas as coleções (o termo mais comum é “classes”) fossem conjuntos, então a totalidade dos conjuntos – que sem dúvida deve ser uma coleção como qualquer outra – seria também um conjunto: o conjunto de todos os conjuntos. Pra começar, claro, esse conjunto deveria conter a si mesmo. Estranho, mas não obviamente impossível. Seja como for, é impossível por outras razões, que não cabe detalhar aqui. O resultado é que a coleção (classe) de todos os conjuntos não pode ser um conjunto, e o mesmo vale para quase todas as suas subcoleções – e isso é quase a totalidade de todas as coleções que há. Assim a noção de “conjunto”, segundo a própria teoria dos conjuntos, abarca apenas uma parte quantitativamente desprezível (infinitamente pequena) do suposto universo de coleções.

Tudo isso é basicamente tão deselegante e implausível quanto uma teoria pode ser. Não obstante, é o que ergue toda a matemática moderna, cujo sucesso prático (e, em alguns sentidos, também teórico) é certamente inquestionável. Oras, essa é uma situação muito surpreendente. Com todo o sucesso matemático, você esperaria que seus fundamentos filosóficos fossem os melhores possíveis. E ocorre que são os piores!

O que fazer desse conflito?

A esmagadora maioria dos envolvidos, sejam filósofos, sejam matemáticos, parece fingir que o problema simplesmente não existe. De fato a maioria possivelmente acredita que não há conflito: que os fortes indícios, espalhados por toda a parte, são meras ilusões oriundas de intuições vacilantes dos estudantes. Em introduções ou textos didáticos, de fato, o que é nítido é um esforço deliberado para maquiar o problema. Mas há quem ataque a questão de frente, e é fascinante vê-los em ação. Aqui está ninguém menos que o grande filósofo David fucking Lewis, reconhecendo a estranheza e, no entanto, defendendo descaradamente que se deve ter na prática dos matemáticos:

CREDO

Conjuntos unitários [doravante, singletons] e, portanto, todas as classes [o que chamei de coleções, acima], são profundamente misteriosos. Mistérios são um fardo dispendioso. Nós não deveríamos, portanto, abandonar o fardo abandonando as classes? Se classes não existem, nós não precisamos nos perturbar com sua natureza misteriosa. Se renunciarmos às classes, estaremos livres dos conjuntos.

Não; pois a teoria dos conjuntos impregna toda a matemática moderna. Alguns ramos e modelos especiais da matemática talvez possam abrir mão dela, mas a maior parte da matemática está imersa até o pescoço na teoria dos conjuntos. Se não há classes, então não há cortes de Dedekind, não há homeomorfismos, não há reticulados completos, não há distribuições de probabilidade, …. Pois todas essas coisas são definidas, de forma standard, como um ou outro tipo de classe. Se não há classes, então nossos livros didáticos de matemática são trabalhos de ficção, cheios de falsos ‘teoremas’. Renunciar a classes significa rejeitar a matemática. Isso não vai funcionar. Matemática é uma busca constante e estabelecida. Filosofia é tão insegura quanto uma busca pode ser. Rejeitar a matemática por razões filosóficas seria absurdo. Se nós filósofos estamos extremamente intrigados com as classes que constituem a realidade matemática, isso é problema nosso. Nós não deveríamos esperar que a matemática desaparecesse só para fazer a nossa vida mais fácil. Mesmo se nós rejeitamos a matemática de forma gentil – explicando como ela pode ser uma ficção útil, ‘boa sem ser verdadeira’ – nós ainda a rejeitamos, e isso ainda é absurdo. Mesmo se nos seguramos em alguns fragmentos mutilados da matemática que podem ser reconstruídos sem classes, se nós rejeitamos a maior parte da matemática isso ainda é absurdo.

Isso não é um argumento, eu sei. Em vez disso, estou inclinado a rir quando penso em quão presunçoso seria rejeitar a matemática por razões filosóficas. O quanto você apreciaria a tarefa de dizer aos matemáticos que eles precisam mudar suas práticas, e abjurar incontáveis erros, agora que a filosofia descobriu que não existem classes? Você é capaz de dizer a eles, com a cara lavada, que devem seguir o argumento filosófico onde quer que o argumento leve? Se eles desafiarem as suas credenciais, você irá se vangloriar das outras grandes descobertas da filosofia: que o movimento é impossível, que um Ser do qual nenhum maior pode ser concebido não pode ser pensado como inexistindo, que é impensável que qualquer coisa exista fora da mente, que o tempo é irreal, que nenhuma teoria jamais foi tornada provável pelas evidências (mas, por outro lado, que não é possível uma teoria empiricamente ideal ser falsa), que é uma questão científica amplamente aberta se alguém alguma vez acreditou em algo, e por aí vai, e por aí vai, ad nauseam?

Não eu! E assim eu tenho que dizer, rangendo os dentes, que de algum modo, eu não sei como, nós de fato entendemos o que significa falar de singletons. E de algum modo nós sabemos que objetos ordinários possuem singletons, e singletons possuem singletons, e que junções de singletons algumas vezes possuem singletons. Nós sabemos até mesmo que singletons constituem a parte predominante da Realidade.

— David Lewis, Parts of Classes (1991), p. 57-59

Por sua vez, o já citado Mayberry, embora recomendando a teoria dos conjuntos à sua própria maneira heterodoxa (um resenhista disse, do livro dele, que era ao mesmo tempo revolucionário e reacionário), bem nos recomenda a direção contrária: “Infelizmente, a complacência entre os matemáticos (…) sobre os fundamentos de sua disciplina tem tido um efeito deletério sobre a filosofia. Fazendo deferência à competência técnica de seus colegas matemáticos, filósofos por vezes não são suficientemente críticos do consenso estabelecido [received opinions] mesmo quando esse consenso é patentemente absurdo” (The Foundations of Mathematics in the Theory of Sets, 2001, p. xiii).

Como você pode adivinhar, eu estou com Mayberry. Eu simplesmente discordo de Lewis capitular à autoridade matemática. Ele próprio reconhece que “isso não é um argumento”; pois bem, então não é argumento. Se você combate a filosofia, você perde, simples assim. Todas as razões apontam para o fato de a noção de “conjunto” ser uma quimera conceitual e, sim, se ela cai, cai junto o edifício da matemática moderna. So be it. Um filósofo que se preze deve, sim, seguir o argumento aonde ele levar – e citar famosos casos de conclusões a que nenhum argumento de fato levou, por inspirado e divertido que seja, não faz nada para enfraquecer a força das razões presentes. Não estou dizendo que os matemáticos devem abandonar seus métodos; certos ou errados, de todo modo eles nunca farão isso sem diretas razões técnicas e matemáticas – é o único tipo de razões que eles respeitam, afinal; estou dizendo que, cedo ou tarde, é inevitável que tais razões concretas se imponham até pra eles. As razões filosóficas não existem num limbo delirante: elas inevitavelmente descem ao chão. A longo prazo, a razão vence. Mas quem já pode ver isso, sem surpresas, é o filósofo – se este trabalha direito, enxergar desde seu ponto de vantagem, como um faroleiro, a verdade de outro modo pouco óbvia, é justamente o que se espera.

Lewis mesmo enxergou a verdade, mas a abjurou: “tenhamos fé nos ensinamentos” é como ele abre o capítulo seguinte. Mas fé continua sendo o que Nietzsche já dizia ser: justamente, “não querer saber o que é verdade”.

Não é tarefa do filósofo justificar o mainstream.
A verdade é a única subversão.
Just to do your thing is the hardest thing to do… ♫ ♪

Esse foi claramente o fim do texto, e o que vou dizer a seguir deveria de algum modo vir no meio, mas não houve encaixe estético (gosto de pensar que faltaram dimensões para encaixar as ideias nas devidas posições). Então que seja: escrevo o meio depois do fim! E é o seguinte: alguém poderia dizer que, tudo bem, a teoria dos conjuntos é mesmo estranha e, em algum sentido, “filosoficamente errada”. Mas e daí? A matemática funciona, não funciona? Se a teoria dos conjuntos está servindo tão bem na prática, o resto é secundário.

Mas essa reação significa basicamente ignorar o problema levantado: se a teoria dos conjuntos é um fundamento filosófico tão ruim, quem disse que a matemática por ela erguida é de fato correta? Muitos responderiam a isso dizendo que, simplesmente, a matemática conjuntista é correta por definição: que “matemática” se trata de seja-o-que-for que se possa demonstrar no framework da teoria dos conjuntos. Espero que as bizarrices conjuntistas enfraqueçam a tentação de dar essa resposta. Mas em vez de discutir, direi apenas o que penso aqui: matemática, em última instância, é a matemática oriunda de nossas poderosas intuições sobre quantidades abstratas – i. e., números. São esses os fatos que se impõem objetivamente. Se algum formalismo acarretar que 27 + 3 = 31, ou que √49 = 8, pior para o formalismo: não vamos revisar nossas intuições. E, de fato, várias considerações intuitivas parecem levar à desconfiança de que o infinito de fato funcione de outro modo – isso, no entanto, é tema para outros textos.

Falando mais concretamente, a noção conjuntista de infinito pode muito bem ser aquilo que gera paradoxos, seja na física quântica, seja na relatividade geral, e pode bem estar por trás da incompatibilidade entre as duas teorias. Se isto está correto, definitivamente a matemática moderna não é correta: é errada a ponto de estar bloqueando uma visão científica unificada do Universo e, com ela, sabe-se lá que possibilidades tecnológicas espetaculares – de energia inesgotável a viagens no tempo.

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